3000 Jahre Analysis

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Wir haben also die Zerlegung Q=U ∪O der rationalen Zahlen in eine Untermenge U und eine Obermenge O, die noch dazu disjunkt sind: U ∩ O = ∅. Jede Zahl in U ist echt kleiner als jede Zahl in O. An der „Schnittstelle“ von U und O kann eine neue Zahl definiert definiert werden, die natürlich eine irrationale Zahl ist. Es hat bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts gedauert, um die Eudoxos’sche Theorie der Proportionen zur Konstruktion irrationaler Zahlen zu verwenden, und diesen Schritt ist der Braunschweiger Mathematiker Richard Dedekind (1831–1916) gegangen.

Dazu betrachteten die ägyptischen Schreiber eine Pyramide, bei der die Spitze genau über einem der Eckpunkte steht. Drei solcher rechtwinkligen (oder „schiefen“) Pyramiden mit gleicher Höhe und Basiskante bilden zusammen einen Würfel mit gleicher Höhe und Basiskante, d. h. das Volumen jeder dieser Pyramiden ist ein Drittel des Volumens Abb. 2 Eine symmetrische und eine rechtwinklige Pyramide mit derselben Grundfläche und derselben Höhe haben das gleiche Volumen 10 1 Prolog: 3000 Jahre Analysis Abb.

5(b) sind nämlich nicht kommensurabel, d. h. für alle natürlichen Zahlen m und n gilt a : b = m : n, d. h. es gibt kein gemeinsames Maß c, so dass a = mc und b = nc gilt. Um die Inkommensurabilität von a und b zu zeigen, hat Hippasos vermutlich die sogenannte Wechselwegnahme verwendet, die lange vor seiner Zeit bekannt war, vgl. [Scriba/Schreiber 2010, S. ]. Das Verfahren der Wechselwegnahme ist nichts anderes als der bekannte Euklidische Algorithmus in geometrischer Einkleidung und lässt sich am übersichtlichsten in einem Stück Pseudocode beschreiben: Solange a = b führe folgende Befehle aus: – – - Ist a > b, dann setze a := a − b; - andernfalls setze b := b − a; Gib a aus.

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