Algebra [Lecture notes] by Jakob Stix

By Jakob Stix

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Precálculo

Este reconocido libro aborda el precálculo desde una perspectiva novedosa y reformada que integra l. a. tecnologa de graficación como una herramienta esencial para el descubrimiento matemático y para los angeles solución efectiva de problemas. A lo largo del texto se explican las ecuaciones paramétricas, las funciones definidas por partes y los angeles notación de límite.

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Darüberhinaus sind die Isomorphismen ϕ und ψ eindeutig, wenn man fordert, daß sie mit den Lokalisierungsabbildungen kompatibel sind. Der Gehalt des Satzes steckt also in der Konstruktion eines solchen Rings S −1 R zusammen mit dem Lokalisierungshomomorphsimus R → S −1 R. Die Idee zur Konstruktion ist Bruchrechnen. Wir definieren dazu auf der Menge R×S eine Relation (a, s) ∼ (b, t) ⇐⇒ es gibt u ∈ S mit u(at − bs) = 0. Man rechnet leicht nach, daß es sich um eine Äquivalenzrelation handelt: symmetrisch und reflexiv ist klar (mit u = 1).

3. , weshalb [K(α1 , . . , αd ) : K] ≤ [L : K] = [L : L1 ] · [L1 : K] ≤ (d − 1)! · d = d! nach dem Gradsatz. 30. Für jede endliche Körpererweiterung L/K gibt es einen Oberkörper L/K der endlich und normal über K ist. Beweis. Sei L = K(α1 , . . , αr ) und sei f ∈ K[T ] das Produkt der Minimalpolynome der αi ˜ über K. 28 gibt es einen Zerfällungskörper L/L von f als Polynom in L[T ]. Da f schon Koeffizienten aus K hat und ein Teil der Nullstellen die Erweiterung L/K erzeugt, ist aber ˜ ˜ L/K auch ein Zerfällungskörper von f ∈ K[T ].

Da S ⊆ K nur aus Einheiten besteht, gibt es nach der universellen Eigenschaft des Lokalisierens eine Fortsetzung der Inklusion R ⊆ K zu einem Ringhomomorphismus Quot(R) → K. Da Quot(R) ein Körper ist, muß diese Abbildung injektiv sein. Es folgt, daß jeder Körper K, der den Integritätsring R ⊆ K enthält, auch den Quotientenkörper enthält. Der Quotientenkörper von R ist also in diesem Sinne der kleinste Körper der R enthält. Diese Bemerkung haben wir schon benutzt, als wir in Charakteristik 0 den Körper Q als Primkörper erkannt haben.

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