Algèbre 1 [Lecture notes] by Olivier Debarre

By Olivier Debarre

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Clifford algebras and spinor structures : a special volume dedicated to the memory of Albert Crumeyrolle (1919-1992)

This quantity is devoted to the reminiscence of Albert Crumeyrolle, who died on June 17, 1992. In organizing the quantity we gave precedence to: articles summarizing Crumeyrolle's personal paintings in differential geometry, common relativity and spinors, articles which offer the reader an idea of the intensity and breadth of Crumeyrolle's learn pursuits and impact within the box, articles of excessive medical caliber which might be of normal curiosity.

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2°. Inversement, si G est résoluble, la même proposition dit que tous ses facteurs simples sont résolubles. Étant simples, il sont cycliques d’ordre premier (ex. 3°). Le théorème de Burnside dit que tout groupe fini dont l’ordre a au plus deux facteurs premiers est résoluble. On peut le démontrer en utilisant la théorie des représentations, qui sera présentée au chap. IV. La preuve est astucieuse, mais du niveau de ce cours. Plusieurs cas particuliers sont proposés en exercice ci-dessous. Ce n’est pas le cas du théorème de Feit et Thompson (1963), qui affirme que tout groupe fini d’ordre impair est résoluble.

Démonstration. — Comme D(An ) est distingué dans An , il est, par le th. 1, égal, pour n = 4, – soit à {e}, auquel cas An est abélien, ce qui ne se produit pas pour n 5, – soit à An . Ceci montre la première assertion. D’autre part, D(Sn ) ≤ An (car la signature d’un commutateur est toujours 1), et D(Sn ) est distingué dans Sn donc dans An . On conclut comme ci-dessus pour n = 4. On peut aussi remarquer que tout 3-cycle (abc) = (ab)(abc)(ab)−1 (abc)−1 = [(ab), (abc)] est un commutateur. Ainsi, le groupe D(Sn ) contient tous les 3-cycles, donc est An pour tout n.

Supposons inversement Cn (G) = {e}. Nous allons montrer par récurrence sur m ∈ {0, . . , n} l’inclusion Cn−m (G) ⊆ Z m (G), qui donne Z n (G) = G, c’est-à-dire le résultat cherché, pour m = n. Pour m = 0, cette inclusion est Cn (G) ⊆ {e} : elle est vraie par hypothèse. Supposons Cn−m (G) ⊆ Z m (G). Soit y ∈ Cn−m−1 (G). Pour tout x ∈ G, on a alors [x, y] ∈ Z m (G), c’est-à-dire [x, y] = e dans G/Z m (G). On en déduit que y est dans le centre de G/Z m (G), donc que y est dans Z m+1 (G), ce qui montre le pas de récurrence.

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