Analysis für Physiker und Ingenieure: Funktionentheorie, by Klaus Jänich

By Klaus Jänich

Aus den Besprechungen: "Dies ist ein Lehrbuch, wie ich es mir als pupil gewünscht hätte: Nahezu jeder Begriff wird vor seiner Einführung ausführlich motiviert, guy findet eine Unmenge (461 Stück!) von hervorragenden Figuren, jedes Kapitel enthält sowohl eine Einleitung, in der skizziert wird, 'wohin der Hase laufen soll', als auch eine Rückschau mit den wichtigsten Ergebnissen. guy findet reichlich Übungen (mit Lösungshinweisen) sowie a number of selection checks (mit Lösungen) am Ende eines jeden Kapitels. Der Stil ist locker und unterhaltsam und unterscheidet sich wohltuend von den üblichen trockenen Mathematik-Lehrbüchern.
Ein hervorragendes Lehrbuch, dessen Lektüre nicht nur für Physiker und Ingenieure nützlich, sondern auch für Mathematikstudenten eine willkommene Ergänzung zum 'täglichen Brot' sein dürfte".
Zentralblatt für Mathematik

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Wenn aber über y nichts weiter gesagt ist und fj(z)dz dasteht, so steckt in dem Kringel eine echte Mitteilung: y(a) = y(b). (2) Mehr spezifisch schreibt man oft f lz-zo j(z)dz für die Integration längs der einmal I~ r mathematisch positiv durchlaufenen Kreislinie vom Radius rum Zo. Figur 89. Wenn die Formel I z- z0 I = r als Integrationsweg fungiert, dann ist y(t) 0 ::; t ::; 2 n damit gemeint 0 z0 + reit, § 2 Geschlossene Integrationswege: §J(z)dz 55 (3) Manche Autoren schreiben §f(z)dz, ohne etwa zu meinen, es sei gleichgültig, welches y darunter gehört, sondern in der Hoffnung, der Leser werde aus dem Zusammenhang des Textes schon begriffen haben, welcher geschlossene Integrationsweg gemeint sei.

Sinz = ii (3) Aus (1) und (2) folgen die Additionstheoreme für sin und cos im Komplexen, sie lauten eben wie im Reellen. (4) Periodizität: e 2 ni = 1 folgt aus (2) und dem aus dem Reellen bekannten Sachverhalt cos2n = 1, sin2n = 0, also mit (1): ez+Zni = ez für alle z e C, ebenso sin (z + 2n) sinzundcos(z+2n) = cosz. (5) Ableitungsregeln: d~ e' = e', den Reihen ersichtlich, fz sin z = cos z, fz cos z = - sinz, wie z. B. direkt aus (6) sin2 z + cos2 z = 1 für alle z e C, z. B. aus dem Additionstheorem für den Cosinus, angewandt auf cos(z- z) = cosO = 1 (7) cosh 2 z - sinh 2 z = 1 für alle z.

Nun zum Inhaltlichen. Notiz: Verläuft der geschlossene Weg y ganz in einem Teilgebiet, in demfeine Stammfunktion F besitzt, so ist 1f(z)dz = 0, da~ Aber: Notiz: wegen y(a) = y(b) auch F(y(b)) - F(y(a)) = 0 sein muß. D 1 lzl= r dz z J 2>t ireit . = --. dt = 27ll, 0 D re'1 und dies ist das einfachste und zugleich wichtigste Beispiel eines geschlossenen Integrals über einen analytischen Integranden, bei dem nicht Null herauskommt. - Aus diesen beiden Notizen erhalten wir auch das 00 E anzn eine für r < Iz I < R konvergente Laurentreihe und ist Korollar: Ist f(z) n= -oo r < r1 < R, so gilt 1 f(z)dz lzl=rt = 1a~, lzl=rt besitzen;alsoa_ 1 = - 1-.

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